Chapter 03

복원성

파도에 한쪽으로 기운 배는 아무도 밀어 주지 않는데도 스스로 다시 일어선다. 물에 잠긴 부분의 모양이 바뀌면서 부력의 작용점이 옮겨 가고, 그 부력과 무게가 한 쌍의 우력을 이루기 때문이다. 이 장에서는 무게중심 G, 부심 B, 메타센터 M이라는 세 점으로 이 현상을 설명하고, 작은 기울기의 GM에서 큰 기울기의 GZ 곡선, 국제 기준(IMO), 횡동요 주기, 그리고 실제 배의 무게중심을 재는 경사 시험까지 다룬다.

무게와 부력이 만드는 복원 우력을 G, B, Z 세 점으로 설명하고 GZ를 계산한다.
메타센터 반지름 $BM = I/\nabla$을 유도하고, 상자형 바지의 $BM = B^2/(12T)$로 KM 곡선을 그린다.
GM의 부호로 안정·중립·불안정 평형을 구분하고, GM이 음수인 배가 롤 각에서 멈추는 이유를 안다.
GZ 곡선에서 최대 GZ, 갑판 끝 침수각, 소실각, 동적 복원성을 읽는다.
IMO 2008 IS Code의 일반 기준과 기상 기준을 적용해 합격 여부를 판정한다.
GM과 횡동요 주기의 관계(stiff/tender)를 이해하고, 경사 시험으로 KG를 구한다.

무게와 부력의 우력: G, B, 그리고 GZ

2장에서 배가 뜨는 조건을 보았다. 배의 무게 $W = \Delta g$와 부력 $\rho g \nabla$가 크기가 같아야 한다. 그런데 크기가 같은 두 힘이라도 같은 직선 위에 있지 않으면 배를 돌리는 우력이 된다. 그래서 복원성의 이야기는 두 힘이 어디에 작용하는지에서 시작한다.

무게중심 G(Centre of Gravity): 선체, 기관, 화물, 연료, 밸러스트 등 배에 실린 모든 무게의 중심. 화물이 움직이지 않는 한 배에 고정된 점이다. 용골(K)에서 G까지의 높이를 KG라 한다.
부심 B(Centre of Buoyancy): 물에 잠긴 부피(배수 용적)의 도심. 부력은 이 점을 지나 수직 위로 작용한다. 배가 기울면 잠긴 부분의 모양이 바뀌므로 B는 움직인다.

똑바로 떠 있을 때 G와 B는 모두 중심선 위에 있어 무게와 부력이 한 직선에서 상쇄된다. 배가 우현으로 $\phi$만큼 기울면 우현 쪽에 새로 물속으로 들어간 쐐기가 생기고 좌현 쪽 쐐기는 물 밖으로 나온다. 부피가 우현으로 옮겨 갔으므로 B도 우현 쪽 $B_1$으로 이동한다. 이제 G를 지나는 무게(아래)와 $B_1$을 지나는 부력(위)이 수평 거리 $GZ$만큼 떨어져 우력을 이룬다.

그림 3-1. 똑바로 뜬 배(왼쪽)는 무게와 부력이 한 수직선 위에 있다. 기운 배(오른쪽)는 부심이 잠긴 쪽으로 $B_0 \to B_1$ 이동하고, $B_1$을 지나는 부력선이 G를 지나는 무게선에서 GZ만큼 떨어져 배를 되돌리는 우력을 만든다. 부력선이 중심선과 만나는 점이 메타센터 M이다.

$$RM = \Delta\, g\, \overline{GZ}\quad[\mathrm{kN\,m}] \qquad \text{or}\qquad RM = \Delta\,\overline{GZ}\quad[\mathrm{t\,m}]$$

$RM$: 복원 모멘트(Righting Moment), $\Delta$: 배수량(t), $\overline{GZ}$: 복원정(Righting Lever, m). 해운에서는 g를 빼고 t·m로 쓰는 일이 많다.

GZ가 양수이면 배를 원래대로 돌리는 복원 모멘트, 음수이면 더 넘어뜨리는 전도 모멘트다. 아래 시뮬레이터는 길이 방향으로 단면이 일정한 배(중앙 단면을 그대로 늘인 근사)를 기울이면서, 매 각도마다 잠긴 면적이 처음과 같아지는 수선을 반복 계산(이분법)으로 찾는다. 그 잠긴 다각형의 도심이 곧 부심 B다. 작은 각 공식이 아니라 다각형을 직접 자르는 계산이라 갑판이 물에 잠기는 큰 각에서도 맞다.

SIMULATOR

횡단면 기울이기: 부심 B는 어디로 가나

좌우로 끌어 기울이기

횡경사각 φ 무게중심 높이 KG 폭 B 흘수 T 힘 화살표

KB₀ / BM₀—

GM₀ = KM − KG—

GZ (정확)—

GM·sinφ (소각 근사)—

복원 모멘트 (L = 200 m)—

해볼 것: ① φ를 0°에서 10°까지 올리며 "GZ(정확)"과 "GM·sinφ"가 거의 같음을 확인한다. ② 30° 이상에서 두 값이 벌어지는 이유를 갑판 끝이 잠기는 순간과 연결해 본다. ③ KG를 올려 G가 M 위로 올라가면 GZ의 부호가 바뀌고 화살표가 배를 더 넘어뜨리는 방향이 된다. ④ 폭 B를 넓히면 같은 각에서 B가 훨씬 멀리 이동한다.

계산에서 눈여겨볼 점이 둘 있다. 첫째, 배가 기울어도 배수 면적(부피)은 그대로이므로 수선은 단순히 중심을 축으로 도는 것이 아니라 아주 조금 오르내린다. 둘째, 작은 각에서 B는 거의 원호를 그리며 움직이고, B를 지나는 수직선은 중심선의 한 점 M을 거의 그대로 지난다. 그 점이 다음 절의 주인공이다.

입체로 보기: 기운 배 안의 G, B, M

횡단면은 배를 선미에서 바라본 모습이다. 실제 배에서 같은 일이 어떻게 보이는지 입체로 확인해 보자. 반투명한 선체 안에 G(빨강), B(파랑), M(초록)을 표시하고, 수면이 선체를 자르는 수선면(Waterplane)을 노랗게 칠했다. 배를 기울이면 수선면이 기운 쪽으로 넓어지고, B가 그쪽으로 따라간다. "자유 횡동요"를 누르면 복원 모멘트만으로 배가 흔들리다 멈추는 모습을 볼 수 있다(GZ는 중앙 단면 계산, 시간은 3배속).

기울어지는 배와 세 점

끌어서 회전 · 휠로 확대

횡경사각 φ KG 수선면 표시

φ—

GM₀—

GZ—

수선면 폭—

해볼 것: ① 배를 끌어 돌려 선수나 선미 정면에서 보면 횡단면 시뮬레이터와 같은 모습이 된다. ② KG를 14 m 가까이 올리고 자유 횡동요를 누르면, 흔들림이 느려지다가 0°가 아닌 각에서 멈춘다(다음 절의 롤 각). ③ KG를 낮추면 흔들림이 빨라진다.

메타센터 M과 GM

작은 경사각에서 부심 $B$는 원호 위를 움직이고, 그 원의 중심이 메타센터 M(Metacentre)이다. 원의 반지름 $BM$을 메타센터 반지름이라 한다. G가 M보다 아래에 있으면 $GZ \approx GM\sin\phi$이고, 이 $GM$이 메타센터 높이(Metacentric Height), 초기 복원성의 척도다.

BM = I / ∇의 유도

그림 3-2. 작은 각 $\phi$만큼 기울면 좌현 쐐기($g_1$)가 물 밖으로 나오고 같은 크기의 우현 쐐기($g_2$)가 잠긴다. 부피 $v$가 거리 $g_1g_2$만큼 옮겨졌으므로 전체 부심은 그 방향으로 $BB_1 = v\cdot g_1g_2/\nabla$만큼 이동한다.

무게중심 이동의 법칙(전체 중 일부 $v$가 $d$만큼 옮겨지면 전체 중심은 $v d/\nabla$만큼 같은 방향으로 옮겨진다)을 부피에 적용한다. 길이 $dx$짜리 얇은 조각에서 수선 반폭이 $y$이면 쐐기 하나의 단면적은 $\tfrac12 y^2\tan\phi$, 두 쐐기 도심 사이 거리는 $\tfrac43 y$이다. 길이 방향으로 적분하면

$$\nabla\cdot BB_1 = \int_L \tfrac12 y^2\tan\phi\cdot\tfrac43 y\,dx = \tan\phi\int_L \tfrac23 y^3\,dx = I_T\tan\phi$$ $$BM = \frac{BB_1}{\tan\phi} = \frac{I_T}{\nabla},\qquad KM = KB + BM,\qquad GM = KM - KG$$

$I_T = \tfrac23\int y^3dx$: 수선면의 중심선에 대한 횡단면 2차 모멘트(m⁴), $\nabla$: 배수 용적(m³). 직사각형 수선면(길이 L, 폭 B)이면 $I_T = LB^3/12$.

상자형 바지(Box Barge)는 손으로 계산할 수 있는 가장 좋은 예다. 길이 $L$, 폭 $B$, 흘수 $T$이면 $\nabla = LBT$, $I_T = LB^3/12$이므로

$$KB = \frac{T}{2},\qquad BM = \frac{LB^3/12}{LBT} = \frac{B^2}{12\,T},\qquad KM = \frac{T}{2}+\frac{B^2}{12\,T}$$

계산 예: 폭 32 m, 흘수 11 m 바지

$KB = 5.5$ m, $BM = 32^2/(12\times 11) = 7.76$ m, $KM = 13.26$ m. KG가 12.0 m이면 $GM = 1.26$ m다. 같은 배의 폭을 10 % 넓혀 35.2 m로 만들면 BM은 $1.1^2 = 1.21$배인 9.39 m가 되어 GM이 2.89 m로 두 배 넘게 커진다. 폭은 BM에 제곱으로 들어가므로 복원성에 가장 강력한 설계 변수다.

흘수가 바뀌면 KB는 흘수에 비례해 오르고 BM은 흘수에 반비례해 줄어든다. 그래서 KM은 어떤 흘수에서 최솟값을 갖는다(상자형이면 $dKM/dT = 0$에서 $T = B/\sqrt6$). 선박의 정수 곡선도(Hydrostatic Curves)에는 이렇게 흘수별 KB, BM, KM이 그려져 있고, 적하 계산에서 이 표를 찾아 쓴다.

SIMULATOR

상자형 바지의 KB, BM, KM 곡선

그래프를 끌어 흘수 선택

폭 B 흘수 T KG

KB—

BM—

KM—

GM—

KM 최소 흘수 B/√6—

해볼 것: ① 흘수를 줄여 가면 BM이 급격히 커져 KM이 다시 올라간다. 가볍게 뜬 넓은 바지가 매우 안정한 이유다. ② KG 수평선이 KM 곡선 위로 나오는 흘수 구간에서는 GM이 음수가 된다. ③ 폭을 바꿔 KM 최솟값의 위치가 $B/\sqrt6$을 따라가는지 본다.

안정·중립·불안정 평형과 롤 각

GM의 부호가 평형의 성격을 정한다. 아주 조금 기울였을 때 $GZ \approx GM\sin\phi$이므로

$GM > 0$ (G가 M 아래): 복원 모멘트 → 안정 평형(Stable). 오뚝이와 같다.
$GM = 0$ (G = M): 1차 소각 근사에서 복원 모멘트가 없다 → 초기 중립(Neutral in the linear approximation). 유한 각에서 기운 채 머무는지는 고차항을 포함한 GZ로 판단한다.
$GM < 0$ (G가 M 위): 전도 모멘트 → 불안정 평형(Unstable). 똑바로 서 있을 수 없다.

그림 3-3. 같은 선체, 같은 M에서 G의 높이만 다른 세 경우. G가 M 아래에 있는 한 배는 오뚝이처럼 되돌아온다.

그렇다면 GM이 음수인 배는 곧바로 뒤집힐까? 대개는 그렇지 않다. 기울수록 넓은 쪽 뱃전이 잠기며 수선면 폭이 커지고 B가 더 멀리 이동하기 때문이다. 옆면이 수직인 배(Wall-sided)는 갑판 끝이 잠기기 전까지 정확히

$$GZ = \sin\phi\left(GM + \tfrac12 BM\tan^2\phi\right)$$

이 식은 근사가 아니라 옆면이 수직인 단면의 정확한 결과다(갑판 끝 침수 전까지). $GM < 0$이면 $GZ = 0$이 되는 각 $\tan\phi_L = \sqrt{-2GM/BM}$가 존재한다.

이 각 $\phi_L$을 롤 각(Angle of Loll)이라 한다. 배는 좌현이나 우현 어느 한쪽으로 $\phi_L$만큼 기운 채 떠 있고, 밀면 반대쪽 롤 각으로 넘어가 "털썩" 하고 눕는다. 화물 이동으로 생긴 경사(4장)와 달리 롤은 방향이 정해지지 않는다는 점이 구별 단서다. 롤 상태에서 반대쪽 탱크에 밸러스트를 채우는 것은 위험하다. 배가 반대로 넘어가는 순간 그 무게가 경사를 키우기 때문이다. 올바른 처치는 G를 낮추는 것(낮은 탱크에 대칭으로 채우기, 높은 곳의 무게 제거)이다.

SIMULATOR

오뚝이 시험: GM의 부호와 롤 각

밀기

GM₀—

평형 상태—

롤 각 (계산)—

√(−2GM/BM) 식—

현재 φ—

해볼 것: 상자형 단면(폭 32 m, 흘수 11 m, KM 13.26 m). ① KG 12.5 m에서 밀면 0° 주위로 흔들리다 멈춘다. ② KG를 KM에 맞추면 1차 복원항이 사라진다. 이 상자형 배는 고차 복원항이 남아 유한 각에서 천천히 돌아온다. ③ KG 13.6 m 정도로 올리고 똑바로 세운 뒤 살짝 밀면, 0°를 벗어나 롤 각에서 멈춘다. 반대 방향으로 밀면 반대편 롤 각으로 넘어간다. 오른쪽 그래프는 위치 에너지 $\Delta g\int GZ\,d\phi$이며 공이 골짜기에 머무는 곳이 평형이다.

대각도 복원성: GZ 곡선

GM은 0°에서의 기울기일 뿐이다. 파도와 바람에 30°, 40°까지 기우는 상황을 판단하려면 각도별 GZ를 모두 그린 GZ 곡선(Curve of Statical Stability)이 필요하다. 실제 설계에서는 G 위치와 무관한 교차 곡선(Cross Curves, KN)을 먼저 계산해 두고, 적하 상태마다 $GZ = KN - KG\sin\phi$로 바꾼다. 아래 시뮬레이터도 같은 방식이다.

$$GZ(\phi) = KN(\phi) - KG\,\sin\phi,\qquad \left.\frac{dGZ}{d\phi}\right|_{\phi=0} = GM$$

$KN$: 용골 K에서 기운 부력선까지의 수평 거리. 선형과 배수량만으로 정해진다.

GZ 곡선에서 읽는 값들은 다음과 같다.

초기 기울기: 원점에서의 접선은 $\phi = 1$ rad(57.3°)에서 높이 GM에 닿는다. 곡선이 처음에 이 접선보다 위로 휘면(옆면이 수직인 배) 경사할수록 복원성이 좋아진다.
갑판 끝 침수각(Deck Edge Immersion): 기운 쪽 갑판 끝이 물에 닿는 각. 그 뒤로는 수선면 폭이 더 늘지 않아 곡선이 꺾여 내려가기 시작한다(대개 이 근처에 변곡점).
최대 GZ와 그 각: 배가 버틸 수 있는 가장 큰 정적 경사 모멘트.
소실각(Angle of Vanishing Stability): GZ가 다시 0이 되는 각. 이 각을 넘으면 배는 뒤집힌다. 0°에서 소실각까지를 복원성 범위라 한다.
곡선 아래 면적: $\int GZ\,d\phi$에 $\Delta g$를 곱하면 배를 그 각까지 기울이는 데 필요한 일이다. 이것을 동적 복원성(Dynamic Stability)이라 하며, 돌풍이나 파도의 에너지를 흡수하는 능력이다.

SIMULATOR

GZ 곡선 실험실

그래프 위를 끌어 각도 선택

KG 깊이 D (건현 = D − T) 폭 B 기준 곡선(KG 12, D 18, B 32) 함께

GM₀—

갑판 끝 침수각—

최대 GZ (각)—

소실각—

선택 각의 GZ—

해볼 것: 흘수 11 m, 둥근 빌지 단면. ① KG를 1 m 올리면 곡선 전체가 $\sin\phi$만큼 깎여 내려간다(90°에서 정확히 1 m). ② 깊이 D(건현)를 키우면 GM은 그대로인데 갑판 끝 침수각과 소실각이 크게 늘어난다. 건현이 대각도 복원성을 만든다. ③ 폭을 넓히면 GM은 커지지만 갑판 끝이 일찍 잠겨 소실각은 오히려 줄 수 있다. ④ 그래프를 끌면 왼쪽 아래 작은 단면이 그 각도의 모습을 보여 준다.

선종(대표적인 값)	GM 범위	특징
대형 컨테이너선 (만재)	0.5 ~ 2 m	갑판 적재로 KG가 높다. GM이 작아 횡동요가 느리다.
VLCC·벌크선 (만재)	3 ~ 8 m	폭이 넓고 화물이 낮다. 매우 "딱딱한" 횡동요.
여객선·카페리	1.5 ~ 3 m	승객 쾌적성과 손상 복원성 사이의 절충.
원목 운반선 (갑판 적재)	0.15 ~ 0.5 m	목재 흡수와 결빙으로 KG가 항해 중 오를 수 있다.

IMO 비손상 복원성 기준

국제해사기구(IMO)의 2008 비손상 복원성 코드(2008 IS Code)는 길이 24 m 이상의 화물선·여객선이 모든 적하 상태에서 만족해야 할 GZ 곡선의 최소 조건을 정한다. 경험적인 기준(라홀라 기준에서 출발)이지만, 오랜 해난 통계를 바탕으로 한 실용적인 문턱이다.

항목	기준
GZ 곡선 아래 면적 0°~30°	≥ 0.055 m·rad
GZ 곡선 아래 면적 0°~40° (또는 0°~φ_f)	≥ 0.090 m·rad
GZ 곡선 아래 면적 30°~40° (또는 30°~φ_f)	≥ 0.030 m·rad
30° 이상에서의 GZ	≥ 0.20 m
최대 GZ가 생기는 각	≥ 25°
초기 GM₀ (자유수면 보정 후)	≥ 0.15 m

$\phi_f$는 침수각(Downflooding Angle)으로, 기관실 통풍구처럼 닫을 수 없는 개구부가 물에 잠기는 각이다. 그 각을 넘으면 물이 선체로 들어와 GZ 곡선이 의미를 잃으므로, 면적 계산은 40°와 $\phi_f$ 중 작은 값까지만 한다. 아래 시뮬레이터에서 적하 상태를 바꾸며 어떤 항목이 먼저 무너지는지 확인해 보자. GM 기준은 4장의 자유수면 보정이 끝난 "유효 GM"에 적용한다는 점도 기억해 두자.

SIMULATOR

IMO 일반 기준 판정기

예시 상태

KG 깊이 D 침수각 φf

종합 판정—

GM₀—

최대 GZ—

해볼 것: 폭 32 m, 흘수 11 m 단면. ① "높은 KG"(깊이 17 m, KG 13.05 m)는 GM₀가 약 0.27 m로 기준을 넘고 0°~30° 면적도 충분하지만 30°~40° 면적에서 떨어진다. GM만으로는 부족하다는 뜻이다. ② "낮은 건현"(깊이 15 m, 건현 4 m)은 GM이 크고 면적도 넉넉한데 갑판이 일찍 잠겨 최대 GZ 각이 25°보다 작아진다. ③ 침수각을 30°대로 낮추면 면적 계산이 $\phi_f$에서 잘린다.

기상 기준: 강풍과 횡동요가 겹칠 때

일반 기준이 GZ 곡선의 "모양"을 본다면, 기상 기준(Severe Wind and Rolling Criterion)은 구체적인 시나리오를 계산한다. 배가 옆바람을 정상적으로 받아 $\phi_0$만큼 기운 채, 파도에 의해 바람 쪽으로 $\phi_1$만큼 흔들려 갔다가 되돌아오는 순간 돌풍이 덮친다는 가정이다.

$$l_{w1} = \frac{P\,A\,Z}{1000\,g\,\Delta},\qquad l_{w2} = 1.5\,l_{w1}$$

$P$: 풍압(기준 504 Pa ≈ 풍속 26 m/s), $A$: 흘수선 위 측면 투영 면적(m²), $Z$: A의 도심에서 수면 아래 측면 면적 도심까지의 높이(대략 T/2 아래, m), $\Delta$: 배수량(t). $l_{w1}$은 정상풍, $l_{w2}$는 돌풍의 경사 레버(m).

판정은 에너지 비교다. 바람 쪽으로 $\phi_0 - \phi_1$까지 흔들린 배가 돌풍 레버 $l_{w2}$를 받아 반대로 굴러간다. $l_{w2}$가 GZ보다 큰 구간에서 바람이 배에 해 준 일이 면적 a, 그 뒤 GZ가 $l_{w2}$보다 큰 구간에서 배가 되돌려 줄 수 있는 일이 면적 b이다($\phi_2$는 50°, $\phi_f$, 두 번째 교점 중 가장 작은 값). 기준은 $b \ge a$, 그리고 정상풍 경사각 $\phi_0 \le 16°$(또는 갑판 끝 침수각의 80 % 중 작은 값)이다. 실제 코드에서 $\phi_1$은 선폭·흘수·빌지 킬·KG로 정해지는 경험식으로 구하지만, 여기서는 슬라이더로 직접 정한다.

SIMULATOR

바람 경사 레버와 면적 a, b

풍압 P 측면 풍압 면적 A KG 횡동요 각 φ₁

l_w1 / l_w2—

정상풍 경사 φ₀—

면적 a—

면적 b—

판정—

해볼 것: 폭 32 m, 흘수 11 m, 깊이 18 m, 길이 200 m(배수량 약 7만 t), KG 13.0 m(GM 약 0.3 m). ① 풍압을 태풍급 1,500 Pa까지 올리면 정상풍 경사 φ₀와 면적 a가 커지고 b는 줄어든다. ② 컨테이너를 높이 쌓아 측면 면적 A를 키우는 것도 같은 효과다. 컨테이너선과 카페리가 이 기준에 민감한 이유다. ③ KG를 13.3 m 이상으로 올린 채 풍압·면적을 키우면 φ₀가 16°를 넘거나 a가 b보다 커져 불합격이 된다. 반대로 KG를 낮추면 GZ 곡선이 올라가 여유가 커진다.

횡동요 주기: stiff와 tender

복원성이 클수록 좋기만 한 것은 아니다. 작은 각에서 배의 횡동요는 복원 모멘트 $\Delta g\,GM\,\phi$가 회전 관성에 맞서는 진자 운동이다. 횡동요 관성 반경을 $k$(부가 질량 포함)라 하면

$$\Delta k^2\ddot\phi + \Delta g\,GM\,\phi = 0\;\Rightarrow\; T_\phi = \frac{2\pi k}{\sqrt{g\,GM}} \approx \frac{2\,c\,B}{\sqrt{GM}}$$

$k \approx 0.35$~$0.45\,B$. 실용식에서 $c \approx 0.4$(IMO는 $c = 0.373 + 0.023B/T - 0.043L/100$), $T_\phi$는 초, B·GM은 m.

GM이 큰 배는 짧은 주기로 세게 흔들려 딱딱한 배(Stiff Ship)라 하고, GM이 작은 배는 길고 부드럽게 흔들려 여린 배(Tender Ship)라 한다. 폭 32 m, $GM = 1$ m이면 $T_\phi \approx 25.6$ s, $GM = 4$ m이면 12.8 s다. 주기가 반으로 줄면 같은 진폭에서 각가속도는 네 배가 되어 선교의 사람, 고박한 컨테이너, 화물창 화물이 큰 횡가속도를 받는다. 반대로 GM이 지나치게 작으면 바람과 화물 이동에 약하다. 그래서 선장은 "충분하지만 지나치지 않은" GM을 찾는다. 또 이 식을 거꾸로 쓰면, 항해 중 횡동요 주기를 재서 GM을 대략 추정할 수 있다.

SIMULATOR

stiff ship vs tender ship

왼쪽 배 GM 오른쪽 배 GM 폭 B

주기 T_φ (왼/오)—

선교 최대 횡가속도 (왼/오)—

시간—

해볼 것: 두 배를 같은 15°로 흔든다(시간 4배속, 감쇠 약간). ① 아래 시간 이력에서 왼쪽 배가 두 번 흔들릴 때 오른쪽 배는 몇 번 흔들리는지 센다. GM이 4배면 주기는 1/2이다. ② 선교 높이(G 위 25 m 가정)의 횡가속도가 GM에 비례해 커지는 것을 본다. ③ 폭을 키우면 같은 GM에서도 주기가 길어진다.

경사 시험: 배의 KG를 재는 법

KM은 선형만으로 계산할 수 있지만 KG는 계산만으로는 믿을 수 없다. 수천 개 부재와 장비의 무게를 모두 더하면 오차가 쌓이기 때문이다. 그래서 새 배가 완성되면 경사 시험(Inclining Experiment)으로 KG를 직접 잰다. 원리는 이 장의 내용 그대로다. 갑판 위의 알려진 무게 $w$를 횡방향으로 $d$만큼 옮기면 G가 $GG_1 = wd/\Delta$만큼 옮겨지고, 배는 $G_1$이 B의 수직선 위에 올 때까지 기운다.

$$\tan\phi = \frac{GG_1}{GM} = \frac{w\,d}{\Delta\,GM}\quad\Rightarrow\quad GM = \frac{w\,d}{\Delta\tan\phi},\qquad KG = KM - GM$$

$\tan\phi = a/l$: 길이 $l$의 진자(추)가 눈금판에서 $a$만큼 옮겨 간 거리로 잰다. KM은 그 흘수의 정수 곡선에서 읽는다.

그림 3-4. 경사 시험. 갑판의 시험 추를 반대편으로 옮기면 배가 1~3° 기울고, 수직을 유지하는 진자 끝이 배에 고정된 눈금판 위에서 $a$만큼 움직인다. 보통 추를 여러 번 옮겨 8개 정도의 측정점을 얻고 직선으로 맞춘다.

시험은 바람과 조류가 약한 날, 계류줄을 느슨하게 하고, 탱크는 비우거나 가득 채워 자유수면을 없앤 상태에서 한다. 측정한 KG에는 시험 추와 아직 싣지 않은 장비가 섞여 있으므로 이를 빼고 더해 경하 상태(Lightship)의 KG를 확정한다. 이후 모든 적하 계산이 이 값에서 출발한다.

SIMULATOR

경사 시험 실습

갑판의 추를 좌우로 끌기

시험 추 무게 w 경사 과장(×4) 표시 실제 KG 보기

기울이는 모멘트 w·d—

진자 편위 a (l = 5 m)—

측정 점 수—

추정 GM—

추정 KG (KM 8.20 m)—

해볼 것: 배수량 9,000 t의 배(폭 20 m). ① 추를 오른쪽 끝으로 끌고 "기록", 왼쪽 끝으로 끌고 "기록", 중간 위치에서도 몇 번 기록한다. ② 측정 점이 늘수록 아래 그래프의 직선 기울기(= 1/(Δ·GM))가 안정되고 KG 추정이 실제값에 가까워진다. 진자 눈금에는 ±2 mm 정도의 판독 오차가 들어 있다. ③ "새 선박"으로 KG가 다른 배를 시험해 본다.

핵심 정리

무게는 G를 지나 아래로, 부력은 B를 지나 위로 작용한다. 배가 기울면 B가 잠긴 쪽으로 이동해 우력 $\Delta g\,GZ$가 생긴다.
작은 각에서 B의 궤적은 M을 중심으로 한 원호이며 $BM = I_T/\nabla$. 상자형 바지는 $KB = T/2$, $BM = B^2/(12T)$. $GM = KB + BM - KG$.
초기 소각 기준에서 $GM > 0$ 안정, $= 0$ 1차 복원항 없음, $< 0$ 불안정. 유한 각의 평형은 GZ 고차항도 확인한다. GM이 음수여도 수선면이 넓어지며 롤 각 $\tan\phi_L = \sqrt{-2GM/BM}$에서 멈출 수 있다(옆면 수직 배).
GZ 곡선 $GZ = KN - KG\sin\phi$에서 초기 기울기(GM), 갑판 끝 침수각, 최대 GZ, 소실각, 면적(동적 복원성)을 읽는다. 건현은 대각도 복원성을 만든다.
IMO 일반 기준: 면적 0~30° ≥ 0.055, 0~40° ≥ 0.09, 30~40° ≥ 0.03 m·rad, GZ(30°) ≥ 0.2 m, 최대 GZ 각 ≥ 25°, GM₀ ≥ 0.15 m. 기상 기준은 돌풍 레버에 대해 면적 $b \ge a$.
횡동요 주기 $T_\phi \approx 2cB/\sqrt{GM}$. GM이 크면 stiff(짧고 격렬), 작으면 tender(길고 부드러움).
경사 시험: $GM = wd/(\Delta\tan\phi)$, $KG = KM - GM$. 모든 적하 계산의 출발점인 경하 KG를 이렇게 잰다.

확인 퀴즈

Q1. 배가 기울 때 위치가 변하는 점은? (화물은 움직이지 않는다고 가정)

G는 배에 실린 무게의 중심이라 화물이 움직이지 않으면 배에 고정되어 있다. B는 잠긴 부피의 도심이므로 잠긴 부분의 모양이 바뀌면 이동한다. 이 이동이 복원 우력을 만든다.

Q2. 폭 20 m, 흘수 5 m인 상자형 바지의 KM은?

$KB = 2.5$ m, $BM = 20^2/(12\times5) = 6.67$ m, $KM = 9.17$ m.

Q3. 다른 조건이 같을 때 배의 폭을 20 % 늘리면 BM은 대략 몇 배가 되는가?

$I_T \propto B^3$, $\nabla \propto B$이므로 $BM \propto B^2$. $1.2^2 = 1.44$배다.

Q4. 정박 중인 배가 어느 날은 좌현으로, 밀어 주면 우현으로 같은 각만큼 기운 채 머문다. 가장 가능성 높은 원인과 처치는?

어느 쪽으로든 같은 각만큼 기우는 것은 롤 각의 특징이다. 한쪽 탱크만 채우면 배가 반대로 넘어가는 순간 경사가 커질 수 있다. G를 낮추는 것이 올바른 처치다.

Q5. 같은 GM에서 건현(깊이 D)을 크게 하면 GZ 곡선에서 주로 무엇이 좋아지는가?

원점 기울기는 GM이라 같다. 갑판 끝이 늦게 잠기므로 수선면이 더 큰 각까지 넓어지고, 곡선이 더 오래 오르며 소실각도 커진다.

Q6. 어떤 배의 GZ 곡선 아래 면적이 0~30°에서 0.07, 0~40°에서 0.095 m·rad이다. IMO 일반 기준에서 불합격인 항목은?

30~40° 면적은 0.095 − 0.07 = 0.025 m·rad로 기준 0.03에 못 미친다. 초기에는 좋아도 30° 이후 GZ가 빨리 줄어드는 배다.

Q7. 폭 30 m인 배의 횡동요 주기가 24 s로 측정되었다. c = 0.4로 추정한 GM은?

$\sqrt{GM} = 2cB/T_\phi = 2\times0.4\times30/24 = 1.0$, 따라서 GM ≈ 1.0 m.

Q8. 배수량 9,000 t의 배에서 30 t의 추를 12 m 옮겼더니 길이 5 m 진자가 200 mm 움직였다. GM은?

$\tan\phi = 0.2/5 = 0.04$, $GM = 30\times12/(9000\times0.04) = 360/360 = 1.0$ m.