Chapter 06

선체 저항

길이 300 m가 넘는 유조선을 15노트로 미는 데 필요한 힘은 대략 2,000 kN, 소형 승용차 200대의 무게를 들어 올리는 힘과 맞먹는다. 그 힘은 어디서 생길까? 물이 선체 표면을 끌어당기는 마찰, 선체 뒤로 압력이 회복되지 못해 생기는 형상 저항, 그리고 배가 끊임없이 파도를 만들어 내보내며 잃는 조파 저항이 대부분이다. 이 장에서는 저항을 성분별로 나누고, 길이 수 m짜리 모형으로 300 m짜리 배의 저항을 예측하는 방법과 그 딜레마, 켈빈 파형의 비밀, 선수 벌브의 원리, 따개비 한 겹이 연료비를 얼마나 올리는지까지 직접 계산해 본다.

배를 붙잡는 다섯 가지 힘

잔잔한 물에서 일정한 속도로 나아가는 배에 물과 공기가 진행 반대 방향으로 가하는 힘을 전체 저항(Total Resistance, \(R_T\))이라 한다. 저항을 이기며 속도 \(V\)를 유지하는 데 드는 동력이 유효 동력(Effective Power) \(P_E = R_T V\)이다. 프로펠러와 엔진이 내야 하는 동력은 여기에 추진 효율을 나눈 값이므로(8장), 저항을 1% 줄이면 연료도 거의 1% 준다.

저항은 물리적 원인에 따라 나눈다.

① 마찰: 두꺼워지는 경계층 ② 형상: 선미 압력 미회복·와류 ③ 조파: 파도로 빠져나가는 에너지 ④ 공기 저항 진행 방향 → RT = ①+②+③+④+⑤ ⑤ 부가: 파랑·바람·오손·거칠기
그림 6-1. 저항 성분. 경계층은 선미로 갈수록 두꺼워진다(마찰). 선미에서 압력이 덜 회복되어 형상 저항이 생기고, 선수·선미가 만든 파도는 에너지를 싣고 빠져나간다(조파). 점성 저항(①+②)은 레이놀즈 수, 조파 저항(③)은 프루드 수의 함수다.

성분의 비율은 배의 종류와 속도에 따라 크게 다르다. 아래 시뮬레이터는 이 장 뒤에서 다룰 근사 모델(ITTC 마찰선 + 형상 계수 + 단순 조파 근사)로 세 가지 대표 선형의 저항 성분을 속도에 따라 쌓아 보여 준다.

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속도에 따른 저항 성분 비율

선종
표시
Fn—
마찰—
형상—
조파—
RT—
PE—
해볼 것: VLCC를 15노트에 두고 마찰+형상이 몇 %인지 본다. 이어서 고속선을 골라 25노트 이상으로 올리면 조파 저항이 마찰을 추월한다. "비율 %"로 바꾸면 속도가 오를수록 조파 띠가 두꺼워지는 모습이 뚜렷하다.

저속 비대선은 거의 “표면을 끌고 다니는” 배다. 그래서 유조선·벌크선은 저마찰 도료, 공기 윤활(19장) 같은 마찰 저감 기술에 관심이 많다. 반면 고속선은 파도를 덜 만드는 길고 날씬한 선형, 선수 벌브, 트랜섬 형상에 공을 들인다.

모형으로 실선을 예측하기: 레이놀즈와 프루드

배를 다 지은 뒤에야 저항을 알 수 있다면 너무 늦다. 그래서 길이 5~10 m짜리 모형을 만들어 예인 수조(Towing Tank)에서 끌어 보고 결과를 실선으로 옮긴다. 이때 모형과 실선의 흐름이 “닮았다”고 하려면 힘의 비율을 나타내는 무차원 수가 같아야 한다.

$$Re = \frac{VL}{\nu}\qquad\qquad Fn = \frac{V}{\sqrt{gL}}$$
\(Re\): 레이놀즈 수(관성력/점성력), \(Fn\): 프루드 수(관성력/중력), \(V\): 속도(m/s), \(L\): 수선 길이(m), \(\nu\): 동점성 계수(해수 15 °C에서 \(1.19\times10^{-6}\) m²/s), \(g\): 중력 가속도.

점성 저항은 \(Re\)에, 파도는 중력이 만드는 현상이므로 조파 저항은 \(Fn\)에 지배된다. 축척 \(\lambda = L_S/L_M\)인 모형에서 \(Fn\)을 맞추려면 \(V_M = V_S/\sqrt{\lambda}\)로 끌어야 하는데, 그러면 \(Re_M = Re_S/\lambda^{1.5}\)가 되어 레이놀즈 수는 수백 배 작아진다. 거꾸로 \(Re\)를 맞추려면 모형을 실선보다 \(\lambda\)배 빠르게 끌거나 점성이 \(\lambda^{1.5}\)배 작은 유체를 써야 하는데, 어느 쪽도 불가능하다. 이것이 선박 유체역학의 근본적인 상사 법칙의 딜레마다.

예인 전차 동력계(저항 측정) VM = VS/√λ 모형 LM = 5~10 m, 수조 길이 200~500 m 난류 촉진 장치(선수 근처 핀·와이어)로 경계층을 강제로 난류화 레일
그림 6-2. 예인 수조 시험. 전차가 모형을 프루드 상사 속도로 끌고 동력계가 전체 저항을 잰다. 모형의 레이놀즈 수가 작아 경계층이 층류로 남지 않도록 선수 근처에 난류 촉진 장치를 붙인다.
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상사 법칙의 딜레마

모형 속도를 맞출 기준
모형 길이—
모형 속도—
Fn 실선/모형—
Re 실선/모형—
CF 실선/모형—
Re를 맞출 ν—
해볼 것: 실선 길이는 200 m로 고정이다. λ를 25에서 50으로 키우면 모형은 다루기 쉬워지지만 Re가 층류 위험 구간(회색 띠)으로 다가간다. "Re 일치"를 누르면 모형을 얼마나 빨리 끌어야 하는지, 그때 Fn이 얼마나 엉뚱해지는지 보인다.

해법은 저항을 두 부분으로 나누는 것이다. 1868년 윌리엄 프루드(William Froude)는 전체 저항을 \(Re\)에만 의존하는 마찰 저항과 \(Fn\)에만 의존하는 잉여 저항(Residuary Resistance, \(R_R\))으로 나누고, 마찰은 같은 길이·면적의 평판 마찰로 계산하며, 잉여 저항 계수 \(C_R\)는 같은 \(Fn\)에서 모형과 실선이 같다고 가정했다. 이 가정은 오늘날까지 모형 시험 외삽의 뼈대다.

마찰 저항과 경계층

선체 표면의 물 분자는 선체에 붙어 함께 움직이고(점착 조건), 표면에서 멀어질수록 상대 속도가 자유류 속도로 회복된다. 이 속도 기울기가 존재하는 얇은 층이 경계층이다. 선수에서는 매끈한 층류(Laminar)로 시작하지만 국소 레이놀즈 수 \(Re_x = Vx/\nu\)가 약 \(5\times10^5\)을 넘으면 소용돌이가 섞이는 난류(Turbulent)로 천이한다. 실선에서는 선수에서 수 cm만 지나면 난류라서, 선체 거의 전부가 난류 경계층에 덮여 있다.

$$\delta_{lam} \approx \frac{5.0\,x}{\sqrt{Re_x}},\qquad \delta_{turb} \approx \frac{0.37\,x}{Re_x^{1/5}},\qquad \frac{u}{V} \approx \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}$$
\(\delta\): 경계층 두께(속도가 자유류의 99%가 되는 높이), \(x\): 선수에서의 거리, \(y\): 표면에서의 높이. 난류 속도 분포는 1/7 승 법칙 근사.

평판의 마찰 저항 계수는 레이놀즈 수만의 함수다. 선박에서는 1957년 국제 수조 회의(ITTC)가 정한 모형–실선 상관 곡선(ITTC-1957 Model-Ship Correlation Line)을 쓴다. 엄밀히 말해 평판 마찰선이 아니라 3차원 효과를 조금 포함하도록 조정된 경험식이다.

$$C_F = \frac{R_F}{\tfrac12\rho S V^2} = \frac{0.075}{(\log_{10} Re - 2)^2}$$
\(S\): 침수 표면적(m²), \(\rho\): 해수 밀도 1025 kg/m³. 모형(\(Re\sim10^7\))에서 \(C_F \approx 3\times10^{-3}\), 실선(\(Re\sim2\times10^9\))에서 \(C_F\approx1.4\times10^{-3}\)으로, 실선의 마찰 계수가 절반 이하다.
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평판 경계층의 성장

평판
ReL—
천이 위치—
끝단 δ—
CF ITTC—
해볼 것: 7 m 모형을 1 m/s로 끌면 앞쪽 상당 부분이 층류(파란 띠)로 남는다. 층류는 마찰이 작으므로 이대로 재면 저항이 과소평가된다. "난류 촉진"을 켜 보자. 실선 200 m로 바꾸면 층류 구간은 맨 앞 몇 cm로 사라진다. 경계층 두께는 세로로 크게 과장해서 그렸다.

형상 계수 \(1+k\)

실제 선체는 평판이 아니다. 곡면을 따라 흐름이 빨라졌다 느려지며 경계층이 평판보다 두꺼워지고, 선미에서는 압력이 덜 회복된다. 휴스(Hughes)는 이 3차원 점성 효과를 평판 마찰에 비례한다고 보고 형상 계수(Form Factor)로 묶었다.

$$C_V = (1+k)\,C_F,\qquad k \approx -0.095 + 25.6\,\frac{C_B}{(L/B)^2\sqrt{B/T}}$$
\(C_V\): 점성 저항 계수. \(k\) 근사식은 와타나베(Watanabe)의 회귀식으로, 날씬한 컨테이너선 \(k\approx0.1\sim0.2\), 비대한 VLCC \(k\approx0.3\sim0.4\)이다. 실제로는 저속 모형 시험(프로하스카 방법)으로 구한다.

모형 시험에서 실선까지: 외삽 절차

오늘날 표준인 ITTC-78 방법은 프루드의 아이디어에 형상 계수를 더한 것이다. 전체 저항 계수를 점성 부분과 조파 부분으로 나누고, 조파 저항 계수 \(C_W\)만 모형과 실선에서 같다고 본다.

$$C_{TM} = (1+k)\,C_{FM} + C_W$$ $$C_{TS} = (1+k)\,C_{FS} + \Delta C_F + C_W + C_{AA},\qquad R_{TS} = C_{TS}\cdot\tfrac12\rho_S S_S V_S^2$$
\(\Delta C_F\): 실선 표면 거칠기 보정(약 \(1\sim2\times10^{-4}\)), \(C_{AA}\): 공기 저항 계수. 모형은 담수(1000 kg/m³), 실선은 해수(1025 kg/m³)를 쓴다.
① 예인 시험② 무차원화③ 형상 계수④ CW 추출⑤ 실선 외삽 RTM(VM) 측정 CTM = R/(½ρSV²) 저속 점 → 1+k CTM − (1+k)CFM CTS → RTS, PE 같은 Fn에서 CW는 모형 = 실선 (프루드 가정) CF는 각자의 Re로 ITTC-1957 식에서 계산
그림 6-3. ITTC-78 저항 외삽 흐름. 모형에서 잰 전체 저항에서 점성 부분을 빼 조파 부분을 얻고, 그것을 실선의 점성 저항 위에 얹는다.

아래 시뮬레이터는 길이 200 m, \(B\) = 32 m, \(T\) = 11 m, \(C_B\) = 0.70인 대표 선박을 축척 λ의 모형으로 시험한 가상 데이터를 만든다(측정 오차 약 ±1% 포함). 단계를 하나씩 넘기며 숫자가 어떻게 변환되는지 따라가 보자.

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모형 시험 외삽기 (ITTC-78)

단계
—
1+k (추정)—
CW—
CTM / CTS—
RTS—
PE—
해볼 것: ⑤단계에서 모형의 \(C_{TM}\) 곡선과 실선의 \(C_{TS}\) 곡선 사이 간격이 점성 저항의 축척 효과다. 만약 모형 저항 계수를 그대로 실선에 쓰면 저항을 몇 % 과대평가하는지 계산해 보자. "새 측정 데이터"로 오차를 바꾸면 ③의 1+k 추정값이 흔들리는 것도 확인한다.
왜 형상 계수를 따로 두는가

프루드의 원래 방법은 \(C_R = C_T - C_F\)를 그대로 실선에 옮겼다. 그런데 \(C_R\) 안에는 \(k\cdot C_F\)(점성 압력 저항)가 들어 있고, 이 항은 \(Re\)가 커질수록 작아진다. 그래서 모형의 \(k\,C_{FM}\)을 실선에 그대로 쓰면 비대선에서 저항을 수 % 과대평가한다. ITTC-78은 이 부분을 점성 쪽으로 옮겨 \(C_{FS}\)로 다시 계산한다.

조파 저항: 험프와 할로우

깊은 물의 파도는 파장과 속도가 묶여 있다(10장). 위상 속도가 \(c = \sqrt{g\lambda_w/2\pi}\)이므로, 배와 함께 따라오는(배에 대해 정지한) 횡파의 파장은 배 속도로 정해진다.

$$\lambda_w = \frac{2\pi V^2}{g} = 2\pi\,Fn^2\,L$$
\(\lambda_w\): 배를 따라오는 횡파의 파장. \(Fn = 0.4\)이면 \(\lambda_w \approx L\), 배 한 척 길이마다 파도 하나가 들어간다.

선수는 물을 밀어 올려 마루(crest)로 시작하는 선수 파계를 만들고, 선미는 물이 빠져 골(trough)로 시작하는 선미 파계를 만든다. 두 파계는 선미 뒤에서 겹친다. 선수파의 마루가 선미에 도착할 때 선미파의 골과 만나면 상쇄되어 파도가 작아지고(할로우(Hollow)), 선수파의 골과 만나면 보강되어 파도가 커진다(험프(Hump)). 뒤에 남는 파도 진폭의 제곱이 조파 저항에 비례하므로 저항 곡선에 물결이 생긴다.

$$R_W \propto A_b^2 + A_s^2 - 2A_bA_s\cos\!\left(\frac{g\,L_e}{V^2}\right) = A_b^2 + A_s^2 - 2A_bA_s\cos\!\left(\frac{L_e/L}{Fn^2}\right)$$
\(A_b, A_s\): 선수·선미 파계 진폭, \(L_e\): 두 파계의 시작점 사이 거리(유효 조파 길이, 약 \(0.8L\)). 험프는 \(L_e/(L\,Fn^2) = \pi, 3\pi, \dots\), 할로우는 \(2\pi, 4\pi, \dots\)에서 생긴다.
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선수파·선미파 간섭과 CW–Fn 곡선

λw/L—
L = 100 m 속도—
선미 뒤 파고 비—
CW—
상태—
해볼 것: Fn을 0.36 근처(할로우)와 0.29 근처(험프)로 옮기며 선미 뒤 합성파(굵은 선)의 크기를 비교한다. 0.4를 넘기면 파장이 배 길이보다 길어져 배가 자기 선수파의 비탈에 걸쳐 선미가 가라앉고, 0.5 부근에 가장 큰 험프가 버티고 있다.

선체 속도의 벽

\(Fn \approx 0.4\)에서 횡파 파장이 배 길이와 같아지면 선수는 첫 마루 위에, 선미는 그 다음 골 속에 놓인다. 배는 스스로 만든 파도의 오르막을 계속 올라가는 셈이 되어 저항이 급증한다. 그래서 배수량형 선박이 경제적으로 낼 수 있는 속도에는 사실상의 상한이 있고, 요트에서는 이를 선체 속도(Hull Speed)라 부른다. 수선 길이를 피트로 쓰면 \(V_{hull}\,[\text{kn}] \approx 1.34\sqrt{L_{WL}\,[\text{ft}]}\)으로, \(Fn\)으로 바꾸면 약 0.40이다. 이 벽을 넘으려면 선체를 들어 올려 파도 위로 미끄러지게 하는 활주선(17장)이 되어야 한다.

선종(대표값)L (m)속도 (kn)Fn조파 저항 비중
VLCC320150.1410% 안팎
케이프사이즈 벌크선285140.1410% 안팎
대형 컨테이너선350220.1920~30%
로팍스 페리180250.3140~55%
구축함150300.4050~60%

켈빈 파형: 19.47°의 비밀

위에서 보면 배가 남기는 물결은 놀랍도록 일정한 모양이다. 배의 크기나 속도와 관계없이 깊은 물에서는 항상 반각 약 19.47°(\(\arcsin\tfrac13\))의 쐐기 안에 갇혀 있다. 1887년 켈빈 경(Lord Kelvin)이 처음 설명해 켈빈 파형(Kelvin Wake Pattern)이라 부른다.

원리는 이렇다. 이동하는 압력점은 여러 방향으로 진행하는 파도를 만드는데, 진행 방향과 각 \(\theta\)를 이루는 파가 배에 대해 정지하려면 그 위상 속도가 \(V\cos\theta\)여야 한다. 그런데 파의 에너지는 위상 속도의 절반인 군속도(Group Velocity)로만 퍼진다. 이 “절반”이 모든 방향의 파 에너지를 \(\tan\alpha = 1/\sqrt8\), 즉 \(\alpha = 19.47°\) 안쪽에 가둔다.

압력점(배) 19.47° 횡파(transverse) 발산파(divergent) 쐐기 경계(커스프): 횡파와 발산파가 만나 파고가 가장 높다
그림 6-4. 켈빈 파형의 구조. 배 뒤를 가로지르는 횡파와 쐐기 경계를 따라 비스듬히 퍼지는 발산파가 쐐기 경계(커스프 선)에서 만난다. 반각 19.47°는 깊은 물의 분산 관계만으로 정해진다.

아래 시뮬레이터는 압력점이 만드는 수면 높이를 모든 파 방향 \(\theta\)에 대한 위상 합성(켈빈의 적분)으로 직접 계산한다. 각 방향의 파는 파수 \(k = k_0\sec^2\theta\) \((k_0 = g/V^2)\)를 갖는다.

$$\zeta(x,y) \propto \mathrm{Re}\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \exp\!\big[i\,k_0\sec^2\theta\,(x\cos\theta + y\sin\theta)\big]\sec^3\theta\,d\theta$$
\(x\): 압력점 뒤쪽 거리, \(y\): 옆 거리. \(|\theta| < 35.26°\)인 성분이 횡파, 그보다 큰 성분이 발산파를 이룬다.
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켈빈 파형 합성기

성분
횡파 파장—
k0 = g/V²—
쐐기 반각19.47°
화면 폭—
해볼 것: 속도를 6노트에서 20노트로 올려 보자. 파장은 속도의 제곱으로 커지지만(화면 축척은 고정) 쐐기 각도는 그대로다. "횡파"만 켜면 배 뒤를 가로지르는 줄무늬가, "발산파"만 켜면 비스듬한 V자 물결이 남는다.
위성 사진의 배 흔적

항공·위성 사진에서 빠른 배의 V자 흔적이 19.47°보다 좁아 보이는 경우가 있다. 고속(\(Fn\) > 0.5)에서는 선체 길이가 유한해 긴 파장의 횡파가 잘 만들어지지 않고, 짧은 발산파 위주로 남아 눈에 띄는 최대 파고선이 쐐기 안쪽으로 들어오기 때문이다.

선수 벌브: 파도로 파도를 지운다

대부분의 대형 상선 선수 아래에는 둥근 혹 같은 구상 선수(Bulbous Bow)가 있다. 벌브는 수면 아래에서 물을 밀어내며 자기만의 파계를 만드는데, 잠긴 물체 위의 수면은 내려가므로 벌브 파는 골로 시작한다. 이 골이 선수파의 마루와 겹치면 서로 상쇄되어 선수파가 작아지고 조파 저항이 준다.

선체 선수파(마루) 벌브 파(골) 합성 = 작은 파도 벌브 중심: 수면 아래, FP보다 앞
그림 6-5. 벌브 파와 선수파의 상쇄. 벌브의 위치(돌출 길이)와 크기는 설계 속도에서 두 파의 위상이 반대가 되도록 정한다. 벌브 파의 세기는 잠긴 깊이에 따라 \(e^{-kd}\)로 줄어든다.

그런데 상쇄는 위상이 맞을 때만 일어난다. 파수 \(k = g/V^2\)는 속도에 따라 변하므로, 설계 속도에서 맞춰 둔 위상은 속도가 크게 낮아지면 어긋난다. 게다가 벌브는 침수 표면적과 형상 저항을 늘린다. 그래서 2008년 이후 연료 절감을 위해 감속 운항(slow steaming)이 일반화되자, 많은 컨테이너선이 벌브를 더 작고 짧은 것으로 교체하는 개조를 했다.

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벌브 파 상쇄와 저속 운항의 역효과

선수파 진폭 비—
위상차 k·xb—
전체 저항 변화—
해볼 것: 기본값(설계 24노트용 벌브)에서 저항이 줄어드는 것을 확인한 뒤 속도를 14노트로 낮춰 보자. 아래 그래프의 곡선이 0 위로 올라가면 벌브가 오히려 손해다. "최적화" 버튼은 현재 속도에서 저항을 최소로 하는 크기·길이를 찾는다. 길이 250 m 컨테이너선 기준의 개념 모델이다.

오손과 표면 거칠기

바닷물에 잠긴 선체에는 몇 주 만에 미생물 막(slime)이 끼고, 몇 달이면 해조류와 따개비가 붙는다. 이것을 오손(Fouling)이라 한다. 마찰 저항은 경계층 바닥의 거칠기에 매우 민감해서, 얇은 미생물 막만으로도 마찰이 10~20% 늘고 따개비가 덮이면 50% 이상 늘 수 있다. 방오 도료는 구리 화합물을 서서히 내보내거나(자기 연마형, SPC) 미끄러운 실리콘 표면으로 생물이 붙기 어렵게(오손 이탈형, FRC) 만든다.

표면 거칠기가 마찰 계수를 높이는 양은 ITTC-78의 보정식으로 근사한다.

$$\Delta C_F = 0.044\left[\left(\frac{k_s}{L}\right)^{1/3} - 10\,Re^{-1/3}\right] + 0.000125$$
\(k_s\): 등가 모래 거칠기 높이(새 도장 약 150 μm). 오손이 진행되면 \(k_s\)가 수백 μm에서 수 mm까지 커진다.
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오손 시계: 운항 월수와 연료

방오 도료
항로 수온
운항—
ks—
마찰 증가—
연료 증가—
누적 추가 연료—
해볼 것: 열대 항로에서 도료 없이 운항하면 1년 만에 하루 연료가 얼마나 느는지 본다. 청소 한 번에 약 5만 달러, 연료 1 t에 600달러라고 할 때 언제 청소하는 것이 이득일까? 하루 100 t을 쓰는 대형 컨테이너선(22노트, 마찰 비중 약 65%) 기준의 근사 모델이다.

얕은 물의 저항

수심이 얕아지면 두 가지가 바뀐다. 첫째, 선체 아래 좁은 틈으로 물이 빠르게 빠져나가며 압력이 낮아지고 배가 가라앉는다(스쿼트(Squat), 12장). 둘째, 파도의 속도가 수심에 묶여 \(c_{max} = \sqrt{gh}\)를 넘지 못한다. 이 한계 속도를 기준으로 한 무차원 수가 수심 프루드 수(Depth Froude Number)다.

$$Fh = \frac{V}{\sqrt{g\,h}}$$
\(h\): 수심(m). \(Fh \to 1\)인 임계 속도에서는 배가 만드는 파 에너지가 앞으로 빠져나가지 못하고 쌓여 조파 저항이 급증하며, 켈빈 쐐기는 90°까지 벌어진다. \(Fh > 1\)(초임계)에서는 횡파가 사라지고 쐐기가 다시 좁아진다.
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수심 프루드 수와 쐐기각

Fh—
임계 속도 √(gh)—
쐐기 반각—
조파 저항 배율—
해볼 것: 수심 10 m 운하에서 속도를 천천히 올리면 19.6노트(Fh = 1) 부근에서 쐐기가 펼쳐지고 저항 배율이 치솟는다. 쐐기각은 유한 수심 분산 관계 \(\omega^2 = gk\tanh kh\)로 정확히 계산했고, 저항 배율 곡선은 경향만 보여 주는 근사다.

대형 선박이 수심이 흘수의 1.5배도 안 되는 항만·운하에 들어갈 때 속도를 크게 줄이는 것은 이 때문이다. 같은 엔진 출력을 내도 속도가 나지 않고, 스쿼트로 바닥에 닿을 위험이 커진다. 반대로 고속 쌍동선이나 군함은 얕은 바다에서 임계 속도를 빠르게 통과해야 하며, 이때 해안에 큰 파도(웨이크 웨이브)를 보내 문제가 되기도 한다.

유효 동력 계산기

지금까지의 내용을 묶으면 초기 설계 단계에서 쓸 만한 저항 추정 절차가 된다.

  1. 침수 표면적 \(S \approx 1.7\,L\,T + C_B\,L\,B\) (멈퍼드 근사)
  2. \(Re\) → \(C_F\) (ITTC-1957), 형상 계수 \(1+k\) (와타나베 근사), 거칠기 보정 \(\Delta C_F\)
  3. \(Fn\), \(C_B\) → \(C_W\) (이 장의 단순 조파 근사: 지수형 상승 × 선수·선미 간섭항)
  4. \(R_T = \tfrac12\rho S V^2\left[(1+k)C_F + \Delta C_F + C_W\right] + R_{AA}\), \(P_E = R_T V\)

실무에서는 홀트롭–메넨(Holtrop–Mennen) 같은 수백 척의 시험 결과를 회귀한 방법이나 CFD, 모형 시험을 쓴다. 아래 계산기의 조파 근사는 경향을 보이기 위한 단순 모델이므로 ±20~30%의 오차를 염두에 두자.

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유효 동력 곡선 계산기

프리셋
배수량—
S—
Fn / 1+k—
RT—
PE—
속도 10% 감속 시—
해볼 것: 컨테이너선 설계 속도를 22노트에서 18노트로 낮추면 유효 동력이 몇 % 줄어드는지 보자. 1노트당 연료가 아니라, 항해 거리당 연료(∝ \(P_E/V\))로 보면 감속 운항의 효과가 더 분명하다. \(C_B\)를 올리면 같은 속도에서 조파 저항이 커지는 것도 확인한다.
속도의 세제곱 법칙

마찰 저항이 지배적이면 \(R_T \propto V^2\), 따라서 \(P_E \propto V^3\)이다. 속도를 10% 줄이면 동력은 약 27% 줄고, 같은 거리를 가는 데 드는 에너지(\(\propto V^2\))는 약 19% 준다. 조파 저항이 큰 배일수록 지수는 3보다 커서 감속 효과가 더 크다. 이것이 19장에서 다룰 감속 운항의 물리적 근거다.

핵심 정리

  1. 전체 저항은 마찰·형상(점성 압력)·조파·공기·부가 저항으로 나뉜다. 저속 비대선은 점성 저항이 80% 이상, 고속 세장선은 조파 저항이 절반에 이른다. \(P_E = R_T V\).
  2. 점성 저항은 \(Re = VL/\nu\), 조파 저항은 \(Fn = V/\sqrt{gL}\)의 함수다. 같은 물에서 모형은 둘을 동시에 맞출 수 없으므로 Fn을 맞추고 점성 부분을 따로 계산한다.
  3. 마찰 계수는 ITTC-1957 식 \(C_F = 0.075/(\log_{10}Re - 2)^2\)로 구하고, 3차원 점성 효과는 형상 계수 \(1+k\)로 곱한다. 모형에는 난류 촉진 장치를 단다.
  4. ITTC-78: \(C_W = C_{TM} - (1+k)C_{FM}\)을 실선에 그대로 쓰고 \(C_{TS} = (1+k)C_{FS} + \Delta C_F + C_W + C_{AA}\)로 외삽한다.
  5. 배를 따라오는 횡파의 파장은 \(2\pi V^2/g\)다. 선수·선미 파계의 간섭이 험프와 할로우를 만들고, \(Fn \approx 0.4\) 이후 저항이 급증한다(선체 속도).
  6. 깊은 물의 켈빈 파형은 속도와 무관하게 반각 19.47°의 쐐기 안에 갇힌다. 군속도가 위상 속도의 절반이기 때문이다.
  7. 선수 벌브는 골로 시작하는 파로 선수파를 상쇄한다. 효과는 설계 속도에 맞춰져 있어 저속 운항에서는 이득이 줄거나 손해가 된다.
  8. 오손과 거칠기는 마찰 저항을 수십 % 늘린다. 얕은 물에서는 \(Fh = V/\sqrt{gh} \approx 1\)에서 저항이 급증한다.

확인 퀴즈

Q1. 길이 200 m 배가 20노트(10.3 m/s)로 달린다. 프루드 수는 약 얼마인가?

\(Fn = 10.3/\sqrt{9.81\times200} = 10.3/44.3 = 0.23\). 상선 대부분은 0.15~0.30 범위에서 운항한다.

Q2. 축척 λ = 25인 모형을 프루드 상사로 시험한다. 실선이 20노트일 때 모형 속도는?

\(V_M = V_S/\sqrt{\lambda} = 20/5 = 4\)노트(약 2.06 m/s). 이때 모형의 레이놀즈 수는 실선의 \(1/25^{1.5} = 1/125\)이 된다.

Q3. 모형의 마찰 저항 계수 \(C_{FM}\)이 실선의 \(C_{FS}\)보다 큰 이유는?

\(C_F\)는 \(Re\)가 커질수록 작아진다. 모형(\(Re\sim10^7\))은 \(C_F\approx3\times10^{-3}\), 실선(\(Re\sim10^9\))은 \(1.5\times10^{-3}\) 정도다. 이 차이를 무시하면 실선 저항을 과대평가한다.

Q4. ITTC-78 방법에서 모형과 실선이 같다고 가정하는 양은?

조파 저항은 중력 현상이므로 Fn이 같으면 계수가 같다고 본다. 형상 계수 \(k\)도 축척과 무관하다고 가정하지만, 형상 저항 자체는 \(k\cdot C_F\)이므로 Re에 따라 달라진다.

Q5. 배가 \(Fn = 0.4\)로 달릴 때 배를 따라오는 횡파의 파장은 배 길이의 약 몇 배인가?

\(\lambda_w/L = 2\pi Fn^2 = 2\pi\times0.16 = 1.005\). 배 길이와 파장이 같아져 선미가 선수파의 골에 빠지는 ‘선체 속도’ 상태다.

Q6. 깊은 물에서 배가 속도를 두 배로 높이면 켈빈 파형의 쐐기 반각은?

쐐기각은 군속도가 위상 속도의 절반이라는 심해 분산 관계에서만 나온다. 속도는 파장(\(\propto V^2\))만 바꾼다. 쐐기각이 바뀌는 것은 얕은 물(\(Fh\)가 1에 가까울 때)이다.

Q7. 감속 운항을 시작한 컨테이너선이 선수 벌브를 개조하는 이유로 가장 알맞은 것은?

벌브의 효과는 파수 \(k=g/V^2\)에 따른 위상 관계에 달려 있다. 속도가 바뀌면 상쇄가 어긋나고, 늘어난 침수 면적과 형상 저항은 그대로 남는다.

Q8. 수심 9 m 수로에서 수심 프루드 수가 1이 되는 속도는 약 얼마인가?

\(\sqrt{gh} = \sqrt{9.81\times9} = 9.4\) m/s ≈ 18.3노트. 이 부근에서 조파 저항이 크게 늘고 쐐기가 90°로 벌어진다.